Formulae for statistical models

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11.1 定義統計模型的公式

下面的統計模型的範本是一個基於獨立的方差齊性資料的線性模型

     y_i = sum_{j=0}^p beta_j x_{ij} + e_i,     i = 1, ..., n,

其中 e_i 屬於 NID(0, sigma^2)。用矩陣格式表示，它可以寫為

     y = X  beta + e

其中 y 是回應向量，X 是模型矩陣（model matrix）或者設計矩陣（design matrix）。X 的列 x_0, x_1, ..., x_p是決定變數（determining variable）。通常，x_0 列就是截距（intercept）項。

例子

在給予正式的定義前，下面的例子可能會給出一些不錯的描述。

假定 y, x, x0, x1, x2, ... 是數值變數，X 是一個矩陣，而A, B, C, ... 是因數。下面的例子中，左邊給出公式，右邊給出該公式的統計模型的描述。

y ~ x
y ~ 1 + x: 二者都反映了y 對 x 的簡單線性模型。第一個包含了一個隱式的截距項，而第二個則是一個顯式的截距項。
y ~ 0 + x
y ~ -1 + x
y ~ x - 1: y 對 x 的通過原點的簡單線性模型 (也就是沒有截距項)。
log(y) ~ x1 + x2: y 的變換形式 log(y) 對 x1 和 x2 進行的多重回歸 (有一個隱式的截距項)。
y ~ poly(x,2)
y ~ 1 + x + I(x^2): y 對 x 的二階多項式回歸。第一種是正交多項式（orthogonal polynomial），第二種是顯式地注明各項的冪次。
y ~ X + poly(x,2): y 利用模型矩陣 X 和二階多項式項x 進行多重回歸。
y ~ A: y 的單一分類因數的方差分析模型。分類因數由 A 決定。
y ~ A + x: y 的單一分類因數的方差分析模型。因數項為 A，共變項為 x。
y ~ A*B
y ~ A + B + A:B
y ~ B %in% A
y ~ A/B: 基於 A 和 B的非可加兩因數方差分析模型y。前兩個公式表示相同的交叉分類設計，後兩個公式表示相同的嵌套分類設計。概略地說，四個公式指明同一個模型子空間。
y ~ (A + B + C)^2
y ~ A*B*C - A:B:C: 三因數實驗。該模型包括一個主要影響因數，另外兩個因數有相互作用。這兩個公式等價。
y ~ A * x
y ~ A/x
y ~ A/(1 + x) - 1: A的每一水準擬合 y 對 x 的簡單線性回歸。三個公式的編碼不一樣。最後一個公式會對 A 每一水準分佈估計截距項和斜率項的。
y ~ A*B + Error(C): 一個實驗設計有兩個處理因素 A 和 B以及因數 C 決定的誤差分層（error strata）。例如在一個區組由因數 C 決定的裂區實驗設計（split plot experiment）。

操作符 ~ 用於定義R 的模型公式。一個普通線性模型的公式可以表示為

     response ~ op_1 term_1 op_2 term_2 op_3 term_3 ...

其中

response

是一個作為響應變數的向量或者矩陣，或者是一個值為向量/矩陣的運算式。

op_i

是一個操作符。它要麼是 + 要麼是 -，分別表示在一個模型中加入或者去除某一項(預設值為前者）。

term_i

可以

是一個向量，矩陣運算式或者1，
因數
是一個由因數，向量或矩陣通過公式操作符（formula operators）連接產生的公式運算式（formula expression）。

基本上，公式中的項決定了模型矩陣中列要麼被加入要麼被去除。 1 表示截距項，並且默認加入模型矩陣除非顯式地去除這一選項。

公式操作符在效果上和用於程式 Glim 和 Genstat 中的 Wilkinson & Rogers 標記符相似。一個不可避免的改變是操作符 . 變成了 : 因為點號在 R 裏面是合法的名字字元。

這些符號總結如下(參考 Chambers & Hastie, 1992, p.29):

Y ~ M: Y 由模型 M解釋。
M_1 + M_2: 同時包括 M_1 和 M_2項。
M_1 - M_2: 包括 M_1 但排除 M_2項。
M_1 : M_2: M_1 和 M_2 的張量積（tensor product）。如果兩項都是因數，那麼將產生“子類”因數¹。
M_1 %in% M_2: 和 M_1:M_2 類似，但編碼方式不一樣。
M_1 * M_2: M_1 + M_2 + M_1:M_2.
M_1 / M_2: M_1 + M_2 %in% M_1.
M^n: M 的所有各項以及所有到n階為止的“交互作用”項
I(M): 隔離 M。M內所有操作符當一般的運算符處理。該項出現在模型矩陣中。

注意，在常常用來封裝函數參數的括弧中的操作符按普通的四則運算法則解釋。 I() 是一個恒等函數（identity function），它使得常規的算術運算符可以用在模型公式中。

還要注意模型公式僅僅指定了模型矩陣的列項，參數則沒有顯式地指定。在某些情況下可能不是這樣，如非線性模型。

Footnotes

[1] 譯者注：因數交互作用項