Generalized linear models - R 導論

Next: Nonlinear least squares and maximum likelihood models, Previous: Updating fitted models, Up: Statistical models in R

11.6 廣義線性模型

廣義線性建模是線性模型在研究回應值的非正態分佈以及非線性模型的簡潔直接的線性轉化時的一種發展。廣義線性模型是基於下麵一系列假設前提的：

有一個響應變數 y和一系列有趣的刺激變數（stimulus variable） x_1, x_2, ...。這些刺激變數決定回應變數的最終分佈。
刺激變數僅僅通過一個線性函數影響回應值y 的分佈。該線性函數稱為 線性預測器（linear predictor），常常寫成
```
          eta = beta_1 x_1 + beta_2 x_2 + ... + beta_p x_p,
     
```
因此 x_i 當且僅當 beta_i 等於0時對 y 的分佈沒有影響。
y 分佈的形式為
```
          f_Y(y; mu, phi)
            = exp((A/phi) * (y lambda(mu) - gamma(lambda(mu))) + tau(y, phi))
     
```
其中 phi 是度量參數（scale parameter）(可能已知)，對所有觀測恒定；A 是一個先驗的權重，假定知道但是可能隨觀測不同有所不同；mu 是 y 的均值。也就是說假定 y 的分佈是由均值和一個可能的度量參數決定的。
均值 mu 是線性預測器的平滑可逆函數（smooth invertible function）：
```
          mu = m(eta),    eta = m^{-1}(mu) = ell(mu)
     
```
該可逆函數 ell() 稱為 關聯函數（link function）。

這些假定比較寬鬆，足以包括統計實踐中大多數有用的統計模型，但也足夠嚴謹，使得可以發展計算和推論中一致的方法（至少可以近似一致）。讀者如果想瞭解這方面最新的進展，可以參考 McCullagh & Nelder (1989) 或者 Dobson (1990)。